如图,在四棱锥中,是平行四边形,,,,,,分别是,的中点.(Ⅰ)*:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
问题详情:
如图,在四棱锥中,是平行四边形,,,
,,,分别是,的中点.
(Ⅰ)*:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【回答】
解法一:(Ⅰ)取中点,连
,∵,∴,
∵是平行四边形,,
,∴,
∴是等边三角形,∴,
∵,∴平面, ∴. ………………………3分
∵分别是的中点,∴∥,∥,
∴,,∵,∴平面,…………………5分
∵平面,∴平面平面. …………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分
, ,,……………………………………………9分
在中,根据余弦定理得,, ………11分
∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分
解法二:(Ⅰ)∵是平行四边形,,
,∴,
∴是等边三角形,∵是的中点,
∴,∵∥,
∴. ………………………………………………………………………………1分
分别以,的方向为轴、轴的正方向,为坐标原点,
如图建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………2分
则,,,,,
设,∵,,解得,,,
∴可得, ………………………………………………………………4分
∵是的中点,∴,∵,∴,∵,
,∴平面,∵平面,
∴平面平面.…………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设是平面的
法向量,则,∴, …………………………8分
令,则, ………………………………………………………9分
又是平面的法向量, …………………………………………………10分
∴, ………………………………………………………11分
∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分
注:直接设点,或者说平面,,酌情扣分.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题