设函数f(x)=4sinx(cosx﹣sinx)+3(Ⅰ)当x∈(0,π)时,求f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)...
问题详情:
设函数f(x)=4sinx(cosx﹣sinx)+3
(Ⅰ)当x∈(0,π)时,求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在[0,θ]上的值域为[0,2+1],求cos2θ的值.
【回答】
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=4sinx(cosx﹣sinx)+3
=4sinxcosx﹣4sin2x+3
=2sin2x﹣4×+3
=2sin2x+2cos2x+1
=2sin(2x+)+1,
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
又x∈(0,π),
所以f(x)的单调递减区间是[,];
(Ⅱ)由f(x)=2sin(2x+)+1在[0,θ]上的值域为[0,2+1],
令x=0,得f(0)=2sin+1=3;
令f(x)=2+1,得sin(2x+)=1,
解得x=,∴θ>;
令f(x)=0,得sin(2x+)=﹣,
∴2x+<,
解得x<,即θ<;
∴θ∈(,),
∴2θ+∈(,);
由2sin(2θ+)+1=0,
得sin(2θ+)=﹣,
所以cos(2θ+)=﹣=﹣,
所以cos2θ=cos[(2θ+)﹣]
=cos(2θ+)cos+sin(2θ+)sin
=﹣×+(﹣)×
=﹣.
知识点:三角恒等变换
题型:解答题