如图,在□ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上(E不与A、B重合),连接...
问题详情:
如图,在□ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上(E不与A、B重合),连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③;④∠DFE=4∠AEF
A.①②③④ B.①②③ C.①② D.①②④
【回答】
B
【分析】
分别利用平行四边形的*质以及全等三角形的判定与*质得出△AEF≌△DMF(ASA),得出对应线段之间关系进而得出*.
【详解】
解:①∵F是AD的中点,∴AF=FD.
∵在▱ABCD中,AD=2AB,∴AF=FD=CD,∴∠DFC=∠DCF.
∵AD∥BC,∴∠DFC=∠FCB,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DCF=∠BCD,故①正确;
延长EF,交CD延长线于M.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A=∠MDF.
∵F为AD中点,∴AF=FD.在△AEF和△DFM中,,∴△AEF≌△DMF(ASA),∴FE=MF,∠AEF=∠M.
∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ECD=90°.
∵FM=EF,∴EF=CF,故②正确;
③∵EF=FM,∴S△EFC=S△CFM.
∵MC>BE,∴S△BEC<2S△EFC
故③正确;
④设∠FEC=x,则∠FCE=x,∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x,∴∠EFC=180°﹣2x,∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x.
∵∠AEF=90°﹣x,∴∠DFE=3∠AEF,故④错误.
故*为B.
点睛:本题主要考查了平行四边形的*质以及全等三角形的判定与*质等知识,得出△AEF≌△DMF是解题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题