如图,在正四棱锥S﹣ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论...
问题详情:
如图,在正四棱锥S﹣ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:
①EP⊥AC;
②EP∥BD;
③EP∥面SBD;
④EP⊥面SAC,
其中恒成立的为( )
A.①③ B.③④ C.①② D.②③④
【回答】
A【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【分析】如图所示,连接AC、BD相交于点O,连接EM,EN.
(1)由正四棱锥S﹣ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,进而得到SO⊥AC.可得AC⊥平面SBD.由已知E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,利用三角形的中位线可得EM∥BD,MN∥SD,于是平面EMN∥平面SBD,进而得到AC⊥平面EMN,AC⊥EP.
(2)由异面直线的定义可知:EP与BD是异面直线,因此不可能EP∥BD;
(3)由(1)可知:平面EMN∥平面SBD,可得EP∥平面SBD;
(4)由(1)同理可得:EM⊥平面SAC,可用反*法*:当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直.
【解答】解:如图所示,连接AC、BD相交于点O,连接EM,EN.
对于(1),由正四棱锥S﹣ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC.
∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD,∵E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,∴EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=N,
∴平面EMN∥平面SBD,∴AC⊥平面EMN,∴AC⊥EP.故正确.
对于(2),由异面直线的定义可知:EP与BD是异面直线,不可能EP∥BD,因此不正确;
对于(3),由(1)可知:平面EMN∥平面SBD,∴EP∥平面SBD,因此正确.
对于(4),由(1)同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直.即不正确.
故选:A.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:选择题