若定义在[﹣2017,2017]上的函数f(x)满足:对任意x1∈[﹣2017,2017],x2∈[﹣2017...
问题详情:
若定义在[﹣2017,2017]上的函数f(x)满足:对任意x1∈[﹣2017,2017],x2∈[﹣2017,2017]都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2016,且x>0时有f(x)>2016,f(x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N=( )
A.2016 B.2017 C.4034 D.4032
【回答】
D【考点】3P:抽象函数及其应用.
【分析】计算f(0)=2016,构造函数g(x)=f(x)﹣2016,判断g(x)的奇偶*得出结论.
【解答】解:令x1=x2=0得f(0)=2f(0)﹣2016,∴f(0)=2016,
令x1=﹣x2得f(0)=f(﹣x2)+f(x2)﹣2016=2016,
∴f(﹣x2)+f(x2)=4032,
令g(x)=f(x)﹣2016,则gmax(x)=M﹣2016,gmin(x)=N﹣2016,
∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)+f(x)﹣4032=0,
∴g(x)是奇函数,
∴gmax(x)+gmin(x)=0,即M﹣2016+N﹣2016=0,
∴M+N=4032.
故选D.
知识点:*与函数的概念
题型:选择题