已知二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+k(k>0).(1)当k=时,求二次函数的顶点坐标;(2)求*:...
问题详情:
已知二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+k(k>0).
(1)当k=时,求二次函数的顶点坐标;
(2)求*:关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0(k>0)有两个不相等的实根;
(3)如图,该二次函数图象与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,P是y轴负半轴上一点,且OP=1,直线AP交BC于点Q.
求*:+=.
【回答】
(1)解:当k=时,y=x2-2x+=(x-1)2-,
∴顶点坐标为(1,-);
(2)*:∵b2-4ac=(2k+1)2-4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k=1>0,
∴原方程一定有两个不相等的实根;
(3)*:由题意得,A(k,0),B(k+1,0),C(0,k2+k),
∴OA=k,AB=1,设PA的解析式为y1=mx+n,代入P(0,-1),A(k,0),
解得,m=,n=-1,于是y1=x-1,
设BC的解析式为:y2=sx+t,代入B(k+1,0),C(0,k2+k),
解得,s=-k,t=k2+k,于是y2=-kx+k2+k,
联立解得
∴点Q的坐标为(k+,).
∴AQ2=(k+-k)2+()2=.
∴==1+.
∵+=+1=.
∴+=.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题