如图，点A(1，)为椭圆＋＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．(1)求椭圆方程；(2)若直线...
问题详情：
如图，点A(1，
)为椭圆
＋
＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形．
①求直线BC的斜率；
②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．
【回答】
解 (1)把点A(1，
)代入
＋
＝1得n＝6，故椭圆方程为
＋
＝1. …………2分
(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直．
因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k1，k2，
消去y，得(3＋k
)x2＋2k1(
－k1)x＋(－k1)2－6＝0，
∴点B的横坐标为x＝1－
(x＝1为点A的横坐标)，
∴点B的纵坐标为y＝－
，
即
………………6分
同理可得点C的坐标为C
.
∵k1＋k2＝0，∴直线BC的斜率为kBC＝. ………………8分
②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为y＝
x＋m，代入方程
＋
＝1得6x2＋2mx＋m2－6＝0，
∴x1＋x2＝－
m，x1x2＝
，
∴BC＝
·|x1－x2|＝2·
，
又点A到直线BC的距离为d＝
，
∴S△ABC＝
BC·d＝
∴当m2＝6，即m＝
或m＝－
时，△ABC面积取得最大值.
此时，直线BC的方程为y＝x±. 
………………16分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
