我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”．...

问题详情：

我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”．锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图1所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．

（1）求C1和C2的解析式；

（2）如图2，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；

（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）由题意A（﹣3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，﹣3）

设抛物线记为C2的解析式为y=ax2+c，

把B（3，0），C（0，﹣1）代入得到，解得，

∴抛物线记为C2的解析式为y=﹣x2+1，

同法可得抛物线记为C1的解析式为y=x2﹣3．

（2）∵y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），

∴BE==，

设直线BE与y轴的交点为F，

由y=x﹣1，可得F（0，﹣1），

∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，

∴△BOC≌△BOF，

∴∠OBC=∠EOB，

因此可能存在两种情形，设P（x，0），

①当△PBC∽△OBE时， =，即=，解得x=，

∴点P坐标为（，0）．

②当△PBC∽△EBO时， =，即=，解得x=﹣，

∴点P坐标为（﹣，0）．

③∵∠OBC≠∠AOE，

∴不存在点P在点B右侧的情形，

综上所述，满足条件的点P坐标（，0）或（﹣，0）．

（3）要使△EBQ的面积最大，则点Q到直线BE的距离最大时，过点Q的直线与直线BE平行，且与抛物线只有一个交点．

①如图1中，当点Q在C1上时，

设与抛物线只有一个交点的直线为y=x+b，则点Q（x， x+b），代入y=x2﹣3，得到x2﹣3=x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，

∵△=0，

∴1﹣4（﹣9﹣3b）=0，

∴b=﹣，

∴y=x﹣，

由，解得，

∴Q（，﹣），

过Q作x轴的垂线交直线BE于M，

把x=代入y=x﹣1，可得M（，﹣），

∴MQ=﹣﹣（﹣）=，

∴△EBQ面积的最大值为××（2+3）=．

②如图2中，当Q在C2上时，

设与抛物线只有一个交点的直线为y=x+b′，则Q（x， x+b′），代入y=﹣x2+1，可得x2+3x﹣9+9b′=0，

∵△=0，

∴9﹣4（9b′﹣9）=0，

∴b′=，

∴y=x+，与y=﹣x2+1联列方程组，解得Q（﹣，），连接EQ，交x轴于N．

易知直线QE的解析式为y=x+8，

∴N（﹣，0），

∴BN=3﹣（﹣）=，

∴△QEB的面积最大值为××[﹣（﹣）]= =，

∵＞，

∴△EBQ的面积的最大值为，此时Q（﹣，）．

知识点：相似三角形

题型：综合题