当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：...
问题详情：
当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量
用表示，狐狸数量用
表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有
只，狐狸数量有
只。请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型（
、
的关系式）；
（2）求出
、关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。
【回答】
解：⑴
⑵设
，
∴
=……=
又矩阵M的特征多项式
=
令
得：
特征值
对应的一个特征向量为
特征值
对应的一个特征向量为
且
∴
=
∴
⑶当n越来越大时，
越来越接近于0，
,
分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。
知识点：矩阵与变换
题型：计算题
