山西绵山是*历史文化名山,因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称,如图1,是绵山上介子推母子的塑像,某游...
问题详情:
山西绵山是*历史文化名山,因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称,如图1,是绵山上介子推母子的塑像,某游客计划测量这座塑像的高度,由于游客无法直接到达塑像底部,因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度;如图2,在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°,当从A处沿坡面行走10米到达P处时,测得塑像头顶C的仰角刚好为45°,已知山坡的坡度i=1:3,且O,A,B在同一直线上,求塑像的高度.(侧倾器高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:cos75°≈0.3,tan75°≈3.7,≈1.4,≈1.7,≈3.2)
【回答】
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F,设PE=x,则AE=3x,在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=,则AE=3,设CF=PF=m米,则OC=(m+)米、OA=(m﹣3)米,在Rt△AOC中,由tan75°=求得m的值,继而可得*.
【解答】解:过点P作PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F,
∵i=1:3,AP=10,
设PE=x,则AE=3x,
在Rt△AEP中,x2+(3x)2=102,
解得:x=或x=﹣(舍),
∴PE=,则AE=3,
∵∠CPF=∠PCF=45°,
∴CF=PF,
设CF=PF=m米,则OC=(m+)米,OA=(m﹣3)米,
在Rt△AOC中,tan75°==,即m+=tan75°•(m﹣3),
解得:m≈14.3,
∴OC=14.3+≈17.5米,
答:塑像的高度约为17.5米.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:解答题